Er zijn heel wat meetkundige problemen die in het klassieke Griekenland een oplossing gevonden hebben maar voor de volgende drie problemen is dat nooit gelukt.
- Driedeling van een hoek
- Verdubbeling van de kubus
- Kwadratuur van de cirkel
Men kan begrijpen dat de Grieken nooit een oplossing gevonden hebben omdat later, in modernere tijden, bewezen is dat er geen oplossing bestaat.
Driedeling van een hoek
Zoek een constructie om een willekeurige hoek in drie gelijke delen te verdelen.
Je kan voor bepaalde hoeken (180°, 135°, 90°, 45°, ...) een constructie vinden.
Er bestaat echter geen algemene constructie. Je kan dus met andere woorden minstens één hoek vinden waarvoor onmogelijk een constructie gevonden kan worden.
Verdubbeling van de kubus
Construeer een kubus die een volume heeft dat het dubbel is van dat van een gegeven kubus.
Het is mogelijk om een vierkant te construeren die de oppervlakte heeft dat het dubbel is van een gegeven vierkant. Daarvoor is het voldoende een lijnstuk met als lengte
√ 2 · z
te construeren met z de lengte van de zijde van het gegeven vierkant.
Om een kubus te kunnen construeren die een volume heeft dat het dubbel is van dat van een gegeven kubus moet je in staat zijn om een lijnstuk met als lengte de 3
√ 2 · z
te construeren met z de lengte van de ribbe van de gegeven kubus. Dat kan dus niet.
Kwadratuur van de cirkel
Construeer een vierkant met dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel.
Het is mogelijk een vierkant te construeren met dezelfde oppervlakte als een gegeven driehoek. Daarvoor maak je gebruik van de constructie van de middelevenredigheid van twee lijnstukken en de eigenschappen van een rechthoekige driehoek.
Als je de kwadratuur van de cirkel wil construeren moet je echter een lijnstuk kunnen construeren met als lengte de vierkantswortel van pi en dat is onmogelijk. Het is namelijk onmogelijk een lijnstuk met als lengte een transcendent getal te construeren.
Probeer de volgende constructies even zelf te vinden.
|
